如何优雅地从总统竞选中套利

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最近看了篇很有趣的文章， 讲了有两个网站 A 和 B，都对 2020 年美国总统大选开了赌局，A 网站拜登胜出的赔率是 1:0.88，也就是说你可以花 0.88 买一注， 拜登胜出则你拿到 1 块，净赚 0.12，输则什么都没有亏掉那 0.88。B 网站允许你看空，看空拜登胜出（也就是认为拜登不会胜）， 赔率就比较高了，是 1.05:0.05，就是你只要出 5 分钱（这里其实包含 1 分钱看空费，简化就不提了，感兴趣可以看原文），如果拜登没有当选， 那你拿到 1.05 净赚 1 块，输则损失掉 0.05。 <!--more-->

如何下注

如果按照赔率来计算概率的话，作者发现其实是有利可图的，A 网站相当于预测有 88% 的概率拜登会赢，而 B 网站则认为有 (1.05-0.05) / 1.05 = 95.2%拜登会赢（原文考虑看空费，实际是拿 1/1.04 算的，这里仍然简化），那就有 4.8%概率会输，88%+4.8% < 1 所以这里就存在套利的可能（为什么<1 就存在套利可能，后面也会证明）。

先给出拜登胜负在 AB 两个网站的损益表：

假设我们拿出 1 块投在 A 站，投入 B 站设为 X 元，为了使无论哪种结果都能有稳定的收入，使胜负收益相等，那么有$$1 / 0.88 0.12 - X = -0.88 + X / 0.05 1 \space [1]$$，解得$$X \approx 0.054$$，假设我们想获利 1000 元，即令等式一边等于 1000，设 N 为投入 A 站的钱数，有$$N*(0.12/0.88 - X)= 1000$$，解得$$N \approx 12157.89$$，由于每投入 1 块到 A 站，就有 X 元投入 B 站，实际投入 B 站$$N * X \approx657.89$$，与原文得出一致的结果。

凭什么能套利？

到这里细心的读者会发现上文的概率和等式并没有关系，那是不是用来判断是否能套利的呢？猜对了！接下来就来证明存在套利的条件是什么，而且也可以更简化上面 X 的计算过程。

一个错误的例子

首先，让我们随便试个场景，上面的 0.88，1.05 太难计算了，我们不妨假设 A 站赔率是 1.5:1，也即用一块可能净赚 0.5 元也可能亏掉这 1 块，B 站赔率是 2:1，同样，把这些值代入[1]中，有$$0.5/1 - X = -1 + X/1$$，解得$$X = \frac 3 4$$，但当你把 X 代入算的时候发现，等式是负值，这也就说明实际没有套利可能的，那么问题出在哪呢？

证明

让我们再形式化地定义下，假设 A 站的赔率是 A:1，B 站的赔率是 B:1（这里 B 站应该是 A 站事件相反的赔率），那么有$$(A-1) - X = -1 + (B-1)*X$$，化简得$$X = \frac A B$$，可把上面 A=1/0.88 和 B=1.05/0.05 代入验算，因为需要[1]式等号一边>0，因此有$$(A-1) - \frac A B > 0$$，因为 A>1，两边同时除以 A，得$$1 - (\frac 1 A + \frac 1 B)>0$$，而 1/A 和 1/B 正是概率，注意这里 A 站和 B 站事件应该互补，也即前面说的概率相加<1，即存在套利的可能。