ARIMA时间序列预测

一.常用的时间序列模型

常用的时间序列模型有：自回归模型 AR(p)、移动平均模型 MA(q)、自回归移动平均模型 ARMA(p,q)、自回归差分移动平均模型 ARIMA(p,d,q), 可以说前三种都是 ARIMA(p,d,q)模型的特殊形式。

二.ARIMA

ARIMA模型的全称叫做自回归移动平均模型，全称是(ARIMA, Autoregressive Integrated Moving Average Model)。也记作ARIMA(p,d,q)，是统计模型(statistic model)中最常见的一种用来进行时间序列 预测的模型。

1. ARIMA的优缺点

优点： 模型十分简单，只需要内生变量而不需要借助其他外生变量。

缺点：

1. 要求时序数据是稳定的（stationary），或者是通过差分化(differencing)后是稳定的。
2. 本质上只能捕捉线性关系，而不能捕捉非线性关系。 注意，采用ARIMA模型预测时序数据，必须是稳定的，如果不稳定的数据，是无法捕捉到规律的。比如股票数据用ARIMA无法预测的原因就是股票数据是非稳定的，常常受政策和新闻的影响而波动。

2. 判断时序数据是稳定的方法。

严谨的定义： 一个时间序列的随机变量是稳定的，当且仅当它的所有统计特征都是独立于时间的（是关于时间的常量）。 判断的方法：

稳定的数据是没有趋势(trend)，没有周期性(seasonality)的; 即它的均值，在时间轴上拥有常量的振幅，并且它的方差，在时间轴上是趋于同一个稳定的值的。 可以使用Dickey-Fuller Test进行假设检验。

3. ARIMA的参数与数学形式

ARIMA模型有三个参数:p,d,q。

p--代表预测模型中采用的时序数据本身的滞后数(lags) ,也叫做AR/Auto-Regressive项
d--代表时序数据需要进行几阶差分化，才是稳定的，也叫Integrated项。
q--代表预测模型中采用的预测误差的滞后数(lags)，也叫做MA/Moving Average项

差分： 假设y表示t时刻的Y的差分。

if d=0, yt=Yt
if d=1, yt=Yt−Y(t−1)
if d=2, yt=[Yt−Y(t−1)]−[Y(t−1)−Y(t−2)]
          =Yt−2Y(t−1)+Y(t−2)

ARIMA的预测模型可以表示为：

Y的预测值 = 常量c and/or 一个或多个最近时间的Y的加权和 and/or 一个或多个最近时间的预测误差。

假设p，d，q已知， ARIMA用数学形式表示为：

y(t)ˆ=μ+ϕ1∗y(t−1)+...+ϕp∗y(t−p)+θ1∗e(t−1)+...+θq∗e(t−q)
其中,ϕ表示AR的系数，θ表示MA的系数

4.ARIMA模型的几个特例

1. ARIMA(0,1,0) = random walk: 当d=1，p和q为0时，叫做random walk，每一个时刻的值，只与上一时刻的值有关。 预测公式如下：

   Y(t)ˆ=μ+Y(t−1)
   

2. ARIMA(1,0,0) = first-order autoregressive model: p=1, d=0,q=0。说明时序数据是稳定的和自相关的。一个时刻的Y值只与上一个时刻的Y值有关。

   Y(t)ˆ=μ+ϕ1∗Y(t−1).
   where, ϕ∈[−1,1],是一个斜率系数
   

3. ARIMA(1,1,0) = differenced first-order autoregressive model: p=1,d=1,q=0. 说明时序数据在一阶差分化之后是稳定的和自回归的。即一个时刻的差分（y）只与上一个时刻的差分有关。

   y(t)ˆ=μ+ϕ1∗y(t−1)
   结合一阶差分的定义，也可以表示为：Y(t)ˆ−Y(t−1)=μ+ϕ1∗[Y(t−1)−Y(t−2)]
   或者Y(t)ˆ=μ+Y(t−1)+ϕ1∗[Y(t−1)−Y(t−2)]
   

4. ARIMA(0,1,1) = simple exponential smoothing with growth: p=0, d=1 ,q=1.说明数据在一阶差分后市稳定的和移动平均的。即一个时刻的估计值的差分与上一个时刻的预测误差有关。

   y(t)ˆ=μ+α1∗e(t−1)
   注意q=1的差分yt与p=1的差分yt的是不一样的
   其中，y(t)ˆ=Y(t)ˆ−Y(t-1)ˆ, e(t−1)=Y(t−1)−Y(t-1)ˆ,设θ1=1−α1
   则也可以写成：Y(t)ˆ=μ+Y(t-1)ˆ+α1[Y(t−1)−Y(t-1)ˆ]=μ+Y(t−1)−θ1∗e(t−1)
   

5. ARIMA(2,1,2) 在通过上面的例子，可以很轻松的写出它的预测模型：

   y(t)ˆ=μ+ϕ1∗y(t−1)+ϕ2∗y(t−2)−θ1∗e(t−1)−θ2∗e(t−2)
   Y(t)ˆ=μ+ϕ1∗[Y(t−1)−Y(t−2)]+ϕ2∗[Y(t−2)−Y(t−3)]−θ1∗[Y(t−1)−Y(t-1)ˆ)−θ2∗[Y(t−2)−Y(t-2)ˆ]
   

6. ARIMA(2,2,2)

   y(t)ˆ=μ+ϕ1∗y(t−1)+ϕ2∗y(t−2)−θ1∗e(t−1)−θ2∗e(t−2)
   Y(t)ˆ=μ+ϕ1∗[Y(t−1)−2Y(t−2)+Y(t−3)]+ϕ2∗[Y(t−2)−2Y(t−3)+Y(t−4)]−θ1∗[Y(t−1)−Y(t-1)ˆ)−θ2∗[Y(t−2)−Y(t-2)ˆ]
   

5.ARIMA建模基本步骤

1. 获取被观测系统时间序列数据；
2. 对数据绘图，观测是否为平稳时间序列；对于非平稳时间序列要先进行d阶差分运算，化为平稳时间序列；
3. 经过第二步处理，已经得到平稳时间序列。要对平稳时间序列分别求得其自相关系数ACF 和偏自相关系数PACF，通过对自相关图和偏自相关图的分析，得到最佳的阶层 p 和阶数 q
4. 由以上得到的d、q、p，得到ARIMA模型。然后开始对得到的模型进行模型检验。

references

1. https://www.cnblogs.com/bradleon/p/6827109.html
2. https://www.jianshu.com/p/4130bac8ebec