原文链接 https://mystery00.github.io/2018/05/21/LCS%EF%BC%88%E6%9C%80%E9%95%BF%E5%85%AC%E5%85%B1%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%A7%A3/
注：以下为加速网络访问所做的原文缓存，经过重新格式化，可能存在格式方面的问题，或偶有遗漏信息，请以原文为准。
废话
因为四月份的蓝桥杯省赛拿了省一等奖，也报了国赛，加上6月2号的ACM，所以在这段时间里面要搞搞算法。 这段时间的面试（只面了京东（校招）和头条（内推）），暴露出来的是Java基础了解的不够深入，同时算法一直以来都是我的薄弱环节，希望这两个比赛能够让我得到一点提升。 这篇文章是为了我能够记住解题的思想同时也算是整理一下思路。
什么是LCS
LCS(Longest Common Subsequence)——最长公共子序列
定义
一个序列S任意删除若干个字符得到新序列T，则T叫做S的子序列。 两个序列X和Y的公共子序列中，长度最长的那个，定义为X和Y的最长公共子序列。
这里主要区分一下子序列和子串（最长公共子序列和最长公共子串），最长公共字串要求连续 字符串 “13455” 与 “245576” 的最长公共子序列为“455”。 字符串“acdfg”与“adfc”的最长公共子序列为“adf”。
LCS的意义
主要运用于比对的地方，比如图形的相似处理、媒体流的相似比较等。生物学家常常利用该算法景象基因序列比对，由此推测序列的结构、功能和演化过程。 LCS可以用来描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来判断抄袭。另一方面，对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。
求解——暴力法
最简单的想法便是列出字符串X的所有子序列，同时列出字符串Y的所有子序列，然后求出这两个字符串的所有子序列相同且最长的一个，便是最长公共子序列。 加入字符串X的长度是m，字符串Y的长度是n，那么X共有\(2^m\)个不同子序列，Y有\(2^n\)个不同子序列，同时进行遍历，那么时间复杂度为O(\(2^m*2^n\))。 显然，这是不可取的。
LCS解法探索
在这里，我们先做几个定义：
假定字符串X，长度为m，从1开始数；
假定字符串Y，长度为n，从1开始数；
Xi=<x1,x2,···,xi>即X序列的前i个字符(1<i<m);
Yj=<y1,y2,···,yj>即Y序列的前j个字符(1<j<n>);
LCS(X,Y)为字符串X和Y的最长公共子序列，即Z=<z1,z2,···,zk>;
事实上，X和Y的可能存在多个子串，长度相同并且最大，因此，LCS(X,Y)严格的说，是个字符串集合。即：Z∈ LCS(X , Y)
在这里我们进行如下分析：
第一种情况：\(x_m=y_n\)(最后一个字符相同)
则：\(X_m\)与\(Y_n\)的最长公共子序列\(Z_k\)的最后一个字符必定是\(X_m\)(\(Y_n\)); 此时，\(Z_k\)=\(X_m\)=\(Y_n\) LCS(\(X_m\),\(Y_n\))=LCS(\(X_{m-1}\),\(Y_{n-1}\))+\(X_m\)
举例：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| X | B | D | C | A | B | A | |
| Y | A | B | C | B | D | A | B |
对于上面的字符串X和Y， \(x_3=y_3\)='C'，则：LCS(BDC,ABC)=LCS(BD,AB)+‘C’ \(x_5=y_4\)='B'，则：LCS(BDCAB,ABCB)=LCS(BDCA,ABC)+‘B’
第二种情况：\(x_m{\ne}y_n\)
此时又分为两种情况：
- LCS(\(X_m\),\(Y_n\))=LCS(\(X_{m-1}\), \(Y_n\))
- LCS(\(X_m\),\(Y_n\))=LCS(\(X_m\), \(Y_{n-1}\))
证明： 令\(Z_k\)=LCS(\(X_m\),\(Y_n\))； 由于\(x_m{\ne}y_n\)，则\(z_k{\ne}x_m\)与\(z_k{\ne}y_n\)至少有一个必然成立，不妨假定\(z_k{\ne}x_m\)（\(z_k{\ne}y_n\)的分析与之类似）。因为\(z_k{\ne}x_m\)，则最长公共子序列\(Z_k\)是\(X_{m-1}\)和\(Y_n\)得到的，即： \(Z_k\)=LCS(\(X_{m-1}\), \(Y_n\))同理，若\(z_k{\ne}y_n\)，则\(Z_k\)=LCS(\(X_m\), \(Y_{n-1}\))
即：若\(x_m{\ne}y_n\)，则： LCS(\(X_m\),\(Y_n\))= max{LCS(\(X_{m-1}\), \(Y_n\)),LCS(\(X_m\), \(Y_{n-1}\))}
举例：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| X | B | D | C | A | B | A | |
| Y | A | B | C | B | D | A | B |
对于字符串X和字符串Y： \(x_2{/ne}y_2\)，则：LCS(BD,AB)=max{ LCS(BD,A), LCS(B, AB) } \(x_4{/ne}y_5\)，则：LCS(BDCA,ABCBD)=max{ LCS(BDCA,ABCB), LCS(BDC,ABCBD) }
因此：
编码实现
我们使用一个二位数组用来C[m,n]来存储子序列的长度，c[i,j]记录了\(X_i\)和\(Y_j\)的最长公共子序列的长度。 当i=0或者j=0是，空序列是\(X_i\)和\(Y_j\)的最长公共子序列，故c[i,j]=0。
0,j>0,x_{i}=y_{j}&space;max\begin{Bmatrix}&space;c(i-1,j),c(i,j-1)&space;\end{Bmatrix}&space;&&space;&&space;i>0,j>0,x_{i}\neq&space;y_{j}&space;\end{matrix}\right." />
使用另一个二维数组B[m,n]，用于标记c[i,j]的值是由哪个子问题的解得到的。即c[i,j]是由c[i-1,j-1]+1或者c[i-1,j]或者c[i,j-1]的哪一个得到的。取值范围为Left、Top、LeftTop三种情况。
举例：
X=< A，B，C，B，D，A，B >
Y=< B，D，C，A，B，A >
最终得到的两个二维数组如图所示：
public class LCS {
private String str1 = "BDCABAGF";
private String str2 = "ABCBDABFG";
private static final int TOP = 1;
private static final int LEFT = 2;
private static final int LEFT_TOP = 3;
public String lcs() {
int[][] C = new int[str2.length() + 1][str1.length() + 1];
int[][] M = new int[str2.length() + 1][str1.length() + 1];
for (int i = 1; i <= str2.length(); i++)
for (int j = 1; j <= str1.length(); j++) {
char x = str2.charAt(i - 1);
char y = str1.charAt(j - 1);
if (x == y) {
C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + 1;
M[i][j] = LEFT_TOP;
} else {
int max = Integer.max(C[i - 1][j], C[i][j - 1]);
if (max == C[i - 1][j])
M[i][j] = TOP;
else
M[i][j] = LEFT;
C[i][j] = max;
}
}
StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
int i = str2.length();
int j = str1.length();
while (M[i][j] != 0) {
if (M[i][j] == LEFT_TOP) {
stringBuilder.append(str2.charAt(i - 1));
}
if (M[i][j] == LEFT_TOP) {
i--;
j--;
} else if (M[i][j] == LEFT)
j--;
else if (M[i][j] == TOP)
i--;
}
return stringBuilder.toString();
}
public static void main(String[] args) {
LCS lcs = new LCS();
System.out.println(lcs.lcs());
}
}
在这里，lcs()返回的是最长的公共子序列，但是我没有做处理，此时返回的字符串是反向的，因为我们最后在通过方向数组寻找子序列的时候，是从后往前，所以这里的字符串是反向的。 在这里给出伪代码实现：
说在后面
在这里，这个算法依旧可以继续优化，但是由于我还没有搞清楚优化的原理，所以暂时不写，如果有需要的可以查看参考链接获取更多信息。