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极坐标变换定义
我们知道在二维坐标系中，有直角坐标系，也有极坐标系，二者的转换关系是：
如下图：
如图，直角坐标系的圆心与极坐标系的圆心一一对应，且圆弧BA可以通过极坐标变换到极坐标系$\rho=r$的一条直线上，实现由圆形到直线的转换。这往往在一些图像处理中很有用。 <!--more-->
实际上，我们在图像处理中，往往还不是处理这样的圆弧，而更多的是处理圆环区域。如下，
同理，我们可以把（a）图中的圆环区域1234,转换成矩形区域（b）.矩形区域与圆环存在一定的对应关系，区域转换满足：转换前后两区域顶点1234一一对应，转换后的矩形区域宽为圆环内外弧长之差$(\phi_2-\phi_1)\cdot R_2$，高为圆环内外半径的差$R_2-R_1$.
具体的数学转换关系是：获取圆环区域的圆心坐标{% math (x_0,y_0)%}、外半径{% math R_2%}、内半径{% math R_1%}、圆环起始角度{% math \phi_1%}和终止角度{% math \phi_2%}. 取矩形区域一点{% math A(x,y)%},它在圆弧内对应的点为{% math A'%}.在图（b）矩形区域中，每一个单位长度对应的角度为{% math (\phi_2-\phi_1)/[(\phi_2-\phi_1)\cdot R_2]%},记{% math (\phi_2-\phi_1)%}为{% math \Delta_{\phi}%},则A对应于A'在圆环区域内极坐标下的角度{% math \phi_A %}表示为： {% math_block %} \phi_A=\phi_1+\frac{\Delta_{\phi}}{\Delta_{\phi}\cdot R_2}x~~~~~~~（1） {% endmath_block %} 点A对应于A'在圆环区域内极坐标下的半径{% math R_A %}为： {% math_block %} R_A=R_1+y.~~~~~~~(2） {% endmath_block %} 得到{% math \phi_A,R_A %}后，可以通过极坐标变换得到直角坐标系下的坐标。 设A'在圆环区域内{% math (x',y') %},则 {% math_block %} \left{\begin{matrix} x' & =x_0+R_A\cos\phi_A\ y' & =y_0+R_A\sin\phi_A \end{matrix}\right. ~~~~~~~~~~~~~~~~~(3) {% endmath_block %} 显然A点的灰度值应该与A'的灰度值相同，但是A'的坐标值通常不是整数，因此无法计算A'的像素值，可以通过双线性插值获得其近似像素值。
极坐标变换在OCR中的应用
在工业视觉领域，经常要进行字符识别，但是有些字符是印在像硬币、CD唱片机一样的圆形区域上，如下图：
图2
我们想要识别硬币上的字符，这时需要使用OCR。OCR通常需要进行两步，第一是字符分割，第二是字符识别。对于此图而言，字符分割不容易，主要是由于我们需要识别的字符位于环形区域中，并不是一般意义上的水平排布，此时我们就可以使用如上的极坐标变换，先定位字符的圆环区域，再转变到水平的矩形区域。这时再采取阈值分割、blob分析等手段分割字符，进而就可以进行OCR了。
极坐标变换后的图是：
图3
其他示例
